Monte Carlo simulation for the quality control and management

Monte Carlo simulation

Definition: (by wikipedia)

It is a class of computational algorithms that rely on repeated random sampling to compute their results. Monte Carlo methods are often used in computer simulations of physical and mathematical systems. These methods are most suited to calculation by a computer and tend to be used when it is infeasible to compute an exact result with a deterministic algorithm. This method is also used to complement theoretical derivations.

History: 二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的

Features:

当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。

设计简便：

1Monte Carlo 仿真分析是通过大量而简单的重复抽样实现的，故计算方法和程序内部都很简单
2收敛的概率性和收敛速度与问题的维数无关l
3适应性强，受问题条件限制的影响较小l
4收敛速度较慢，不宜用来解决精度要求很高的实际问题

Process:

一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。

（1）构造概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
（2）实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。建立各种估计量：一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。
（3）建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量：于是，在N次实验后，正品个数为：显然，正品率p为：不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是无偏估计。用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q(w),w Î W ,使得这个随机变量的期望值正好是所要求的解Q，然后用q (w)的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。

这个过程用两句话来表达就是：

　　用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
　　用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

Principles:

当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。

Applications:

Telecommunications networks, Financial markets, Weather forecasting, Revenue Management, Insurance, Engineering, Statistics

Samples in Matlab:(罗列程序描述，需要的同学email 至本博客邮箱: shchen.lmars@live.cn)

montecarlo.m 清楚表达了MC的原理和结构；入门首选。
法国Vincent Leclercq教授，写的Monte Carlo应用

- The first demo (LakeArea, run MainLakeArea) is computing the size of a polyogon using a MC approach

- The second demo (PortSim, run WebinarScript) can do 2 things: First, we genrate some equity paths, to verify the lognormality If changing the mode to OptionPricing (uncomment one of the first line),

then those spaths will be used for pricing an asian option

- the 3rd Demo,in myMC (run MonteCarlo.m) , show how to simulate some corelated asset paths

- The 4th demo, (run VanillaPricingUsingDifferentMethods.m in the VarReduction folder) , wil compare th results obtrtain byt differents reduction of Variance technics or "quasi" ont Carlo simultion using Hamlton and sobol Sequences

Questions:

How to make sure which parameters should be considered during the quality control and management?
How do you generate the random functions to produce the random numerical value? ()By matlab random functions
Difference between Monte Carlo and ANN algorithms? Their performance in your test?
Stability, time to get one acceptable results,
Key works: justify whether the generated random numerical values belongs to the objective range, the percent is the .